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Concepts-clés et théorie¶
THÉORÈME 1 :¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie et $W$ un sous-espace vectoriel de $V.$ Alors les affirmations suivantes sont vérifiées.
Le sous-espace vectoriel $W$ est de dimension finie.
La dimension de $W$ satisfait $\dim W\leq \dim V$.
Si $\dim W=\dim V,$ alors $W=V$.
EXERCICE 1¶
Soit un système homogène de $3$ équations à $5$ inconnues.
Quelles sont les dimensions possibles pour l'espace des solutions ? Cochez toutes les réponses valides (maintenez CTRL pour en sélectionner plusieurs).
ch4_7_8ex1()
EXERCICE 2¶
Soit $S_1$ un système de $2$ équations à $3$ inconnues et dont l'espace de solution forme un plan.
On définit $S_2$ comme étant le système $S_1$ privé d'une équation.
Quelle est la dimension de l'espace des solutions de $S_2$ ?
ch4_7_8ex2()
EXERCICE 3¶
Remarquez la propriété suivante :
- $\dim(A + B) + \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B)$
ch4_7_8ex3_venn()
Donner dans chaque cas la dimension de la somme des deux espaces vectoriels ; appuyez sur le bouton "Visualiser" pour vous aider :
(a) $\dim (W + V)$ avec $W$ un plan et $V$ une droite coplanaire à ce plan ; les deux passant par l'origine.
ch4_7_8ex3a()
(b) $\dim (W + V)$ avec $W$ un plan et $V$ une droite non coplanaire à ce plan ; les deux passant par l'origine.
ch4_7_8ex3b()
(c) $\dim (V + V)$ avec $V$ une droite passant par l'origine.
ch4_7_8ex3c()
(d) $\dim (V_1 + V_2)$ avec $V_1$ et $V_2$ deux droites distinctes passant par l'origine.
ch4_7_8ex3d()
(e) $\dim (W_1 + W_2)$ avec $W_1$ et $W_2$ deux plans distincts passant par l'origine.
ch4_7_8ex3e()
(f) $\dim (U + X)$ avec $U$ l'origine et $X$ l'espace $\mathbb{R}^3$.
ch4_7_8ex3f()